Computer Graphics & Geometry

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ИЗГОТОВЛЕНИЯ ИЗДЕЛИЙ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ ПО МАТЕРИАЛАМ ИЗМЕРЕНИЙ НА ПРОГРАММИРУЕМЫХ КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ МАШИНАХ

Вермель В.Д., Забалуев В.Ф., Николаев П.М.

• Abstracts
• Введение
• 1. Проблемы обработки измерений для изделий со сложной формой поверхности.
• 2. Определение параметров совмещения физической и математической моделей.
  • 2.1. Совмещение изделия и его математической модели.
  • 2.2. Совмещение контрольных обводов математической модели и их замеров.
  • 2.3. Алгоритм совмещения замеров с сечением, заданным в виде ломаной.
• 3. Оценка точности совмещения физической и математической моделей.
• 4. Методика оценки точности изготовления составной поверхности на программируемой КИМ.
• Литература.

Abstracts:The chief problems arising during processing of measurement data of objects with complex shape and the ways of their solution are considered. Numerical algorithms to compare a large volume of measurement data with the initial geometric surface model are presented. A technique to estimate the manufacturing tolerance of a composite surface with the aid of NC-controlled measurement machine is suggested. A sample application of the technique is discussed.

Прежде всего, такие оценки существенны для формообразующей технологической оснастки (пресс-формы, штампы, литейные формы и др.): с одной стороны, точность изготовления определяет последующие затраты на доработку продукции массового производства, изготавливаемой на данной оснастке (удаление облоя, пригонка элементов изделий при сборке и т.д.), с другой – определяет внешний облик и качество самих изделий по воспроизведению замысла дизайнера, зазорам в местах сопряжения деталей, внешнему виду.

Важнейшим требованием к результатам измерений, наряду с оценкой точности производства, является также оценка качества составляющих производственного процесса. Известен афоризм, бытующий за рубежом - “не важно как ты делаешь, важно как ты контролируешь выпускаемую продукцию”.

Современные контрольно-измерительные машины (КИМ, рис. 1) представляют собой высокоточные устройства, обеспечивающие пять степеней свободы при ориентации измерительного щупа в пространстве. Управляемые ЭВМ, они комплектуются развитыми библиотеками программ для проведения и обработки измерений изделий различной формы. Прежде всего, они ориентированы на измерение составляющих поверхность изделий типовых геометрических объектов, таких как плоскости, призмы, тела вращения и др. Обработка измерений указанных объектов, обеспечивающих описание преобладающего объема изделий общего машиностроения, полно рассмотрена в литературе [например 1, 2]. Наряду с этим, проведение измерений и обработка их результатов применительно к изделиям со сложной формой поверхности освоена недостаточно.

Основные проблемы обработки материалов измерения сложных поверхностей иллюстрируются на рис. 2.

Во-первых, (рис. 2-1) это возможности точной установки модели на столе контрольно-измерительной машины. Уточнение базирования модели ограничивается точностью изготовления баз и расположения относительно баз контролируемой поверхности, а также точностью их визирования (фиксации) при измерениях.

Во-вторых, непосредственный замер координат контролируемых точек изготовленной поверхности, отклонения которых от эталона должны быть установлены, практически невозможен. Они могут быть установлены только косвенно на основании измерений достаточно большого объема в их окрестности (рис. 2-2).

В-третьих, конечная геометрия щупа, касающегося измеряемой поверхности позволяет оценивать координаты только косвенно (рис. 2-2,2-3). Достоверно фиксируется координата нижней точки щупа или его центра.

Точка касания при измерениях сложных поверхностей может в достаточно широком диапазоне перемещаться по поверхности щупа.

В четвертых, вследствие погрешностей базирования и изготовления для измеренных точек поверхности необходимо найти соответствующие им на математической модели изделия. Для сложных поверхностей решение данной задачи также весьма затруднительно. Именно сопоставление соответствующих точек математической модели с результатами измерений, позволяет сделать заключение о точности изготовления.

Наряду с изделиями, составляющими формообразующую технологическую оснастку, данные проблемы решались авторами применительно к наиболее сложным с точки зрения формы поверхности изделиям - аэродинамическим моделям самолетов (рис. 3).

В результате измерений аэродинамической модели необходима оценка целого ряда параметров:

• точность базирования аэродинамической модели относительно креплений в аэродинамической установке;
• точность сборки модели, включающая реальные геометрические параметры (линейные и угловые) установки агрегатов (крыло, оперение, гондолы и т.д.);
• точность пространственного расположения контролируемых обводов в поверхности основных агрегатов;
• точность воспроизведения контура контролируемых обводов, по отклонениям измеренных точек от соответствующих обводов математической модели в контрольных сечениях.

Оценка в полном объеме точности изготовления аэродинамических моделей самолетов связана с нахождением решения ряда задач обработки материалов измерений. Рассмотрим их последовательно.

При измерениях положение осей изделия (физической модели и ее элементов) после установки на столе контрольно-измерительной машины (КИМ) в общем случае не совпадает с осями КИМ. Отличия определяют ошибку базирования, которая должна быть устранена перед сопоставлением результатов измерений с исходной математической моделью изделия.

В качестве примера на рис. 4 приведены результаты замера ряда сечений аэродинамической модели. Ясно видны искажения, вносимые неточностью установки. Существующая технология изготовления элементов модели, как и типовых деталей формообразующей оснастки, также предполагает возможное появление погрешностей в размещении изготавливаемой поверхности относительно технологических баз.

Процесс изготовления включает ряд последовательных циклов фрезерной обработки, термообработки, доработки баз и, соответственно, многократных установок на станке. Таким образом при повышенной точности изготовления базирующих поверхностей, профильные части изделия могут быть смещены относительно них на величины, определяемые точностью установки и используемого станочного оборудования.

Оценка точности базирования таким образом должна формироваться как на основе измерения баз, так и достаточного объема точек контролируемой поверхности.

Наряду с решением задачи базирования поверхностей, должна быть также решена задача базирования контрольных обводов (сечений и характерных линий на поверхности) при различных используемых способах задания информации.

Сформулируем следующую задачу:

Имеются математическая и изготовленная с ограниченной точностью физическая модели.

Начала собственных систем координат О и О¹ моделей смещены на вектор Р. Кроме того, система О¹ повернута относительно осей OX, OY, OZ системы О на углы a , b и g (рис. 5).

На математической модели задается ряд характерных точек . Производится замер соответствующих им точек на физической модели.

Число точек N и их расположение зависит от конкретной формы модели и определяется конструктором.

Требуется найти преобразование R, которое переводило бы систему О^I в систему О так, что сумма квадратов расстояний от преобразованных измеренных точек cⁱ=R(b_i) до соответствующих им точек математической модели была минимальной

(1)

Преобразование измеренной точки записывается в матричной форме следующим образом

cⁱ=[R](bⁱ+P), (2)

где [R] - матрица, определяющая поворот относительно осей системы координат Q на углы a , b и g [3]:

Предполагается, что величины P_x, P_y, P_z ,a , b и g достаточно малы, поэтому, в линейном приближении

Отбрасывая величины второго порядка малости, получаем выражение для [R]:

.

Таким образом, искомыми являются шесть величин: P_x, P_y, P_z,a , b и g .

Преобразование (2) для измеренной точки в координатной форме выглядит следующим образом

.

Подставив значения C_x, C_y и C_z в выражение для суммы квадратов расстояний (1), получаем выражения для функции Лагранжа

(3)

Условием минимума функции Лагранжа является равенство нулю частных производных

В результате дифференцирования функции (3) получаем

Приравняв выражения для частных производных к нулю и сгруппировав подобные члены, получаем систему линейных уравнений

(4)

где [D] - матрица размером 6x6, [H] - столбец свободных членов.

Элементы матрицы [D] и столбца [H] определяются следующим образом

где:

Решив систему уравнений (4), получаем искомые значения P_x, P_y, P_z, ,a , b и g , определяющие преобразование (2).

Определенные значениялинейных и угловых смещений (P_x, P_y, P_z,,a , b и g составляют исходную информацию оператору измерительной машины для корректировки системы координат физической модели.

После базирования физической модели - на ней производится ряд кольцевых замеров, соответствующих контрольным обводам (сечениям) математической модели. Точки замеренного сечения лежат в одной плоскости. В качестве примера на рис. 6 приведена модель турбинной лопатки. Число точек в сечении M зависит от геометрии конкретного сечения. Каждое замеренное сечение необходимо совместить с соответствующим ему сечением математической модели. Для этого его нужно повернуть на угол a, и сдвинуть на вектор P в плоскости сечения. Эта процедура аналогична описанной в предыдущем разделе. Отличие состоит в том, что нет четкого соответствия между точками на сечении математической модели и измеренными точками .

Необходимо найти точки cⁱ, лежащие на измеренном сечении и соответствующие точкам сечения математической модели. Для этого сначала находятся точки cⁱ⁽⁰⁾, лежащие на многоугольнике, соединяющем измеренные точки так, что расстояние от точки до точки cⁱ⁽⁰⁾ минимально. Последовательно определяются расстояния от точки до каждого из отрезков [,⁺¹], j=1,...,M-1. Точка d, соответствующая минимальному расстоянию, определяется из условия перпендикулярности вектора (-d) прямой, проходящей через точки и⁺¹.

Прямая, проходящая через точки и ⁺¹ задается уравнением

d(t)=b^j+ (b^j+1-b^j)t, t О[-Ґ, Ґ].

Условие перпендикулярности

(b^j+1-b^j)( -d(t^*))=0.

Отсюда определяется значение параметра t^*

Однако, определенная таким образом точка d(t^*) может лежать за пределами отрезка [b^j,b^j+1], поэтому точка d, соответствующая минимальному расстоянию, определяется следующим образом

Определив расстояния от точки до каждого из отрезков [b^j,b^j+1], выбираем тот отрезок, расстояние до которого минимально. Точка d, найденная на этом отрезке, и будет искомой точкой cⁱ⁽⁰⁾.

После этого определяется уточненная точка cⁱ. Для этого несколько точек измеренного сечения b^k, k=j-L,...,j+L, находящихся в окрестности найденной точки cⁱ⁽⁰⁾, аппроксимируются сегментом сплайна. С помощью процедуры, описанной в 2.3, определяется точка cⁱ, соответствующая точке .

Таким образом, имеется N точек контрольного сечения математической модели и соответствующие им N точек cⁱ измеренного сечения. Необходимо найти вектор P, на который нужно сдвинуть точки, и угол a, на который их нужно повернуть до полного совпадения. Компоненты вектора P_x и P_y и угол a определяются так же, как и в предыдущем разделе.

Минимизируется функция Лагранжа

где c`ⁱ - сдвинутая на вектор P и повернутая на угол a точка cⁱ

Условия минимума функции Лагранжа

определяют систему из трех линейных уравнений. Решив ее, получаем значения P_x, P_y и a;

где

По этим значениям определяются для каждого контрольного сечения параметры наилучшего совмещения замеров физической модели с сечением модели математической.

Информация о контролируемых сечениях может задаваться, наряду с математической моделью, в виде достаточно полных таблиц. Ломаная, соединяющая их, удовлетворяет требуемой точности описания обводов. В некоторых случаях сечения состоят из значительного числа прямолинейных участков. Для подобного задания информации аппроксимация исходных таблиц сплайном не рациональна. Рассмотрим специализированный метод совмещения замеренных точек с сечением математической модели, заданным в виде ломаной. Отличительной особенностью метода является то, что точки замеров притягиваются не к соответствующим точкам-проекциям на математической модели, как в алгоритме предыдущего раздела, а к соответствующим отрезкам. Это существенно увеличивает скорость и область сходимости.

Задача ставится следующим образом. Точки замеренного сечения b^j лежат в одной плоскости (рис. 7). Их число M зависит от геометрии конкретного сечения. Число точек N сечения математической модели также зависит от геометрии конкретного сечения. Каждое замеренное сечение необходимо совместить с соответствующим ему сечением математической модели. Для этого его нужно повернуть на угол a и сдвинуть на вектор P в плоскости сечения. Критерием совмещения является минимум суммы расстояний от измеренных точек до многоугольника, представляющего математическую модель.

Первоначально необходимо определить отрезки математической модели, которые лежат наиболее близко к каждой из замеренных точек. В результате получаем следующую конкретизированную постановку задачи. Имеется M точек b^j измеренного сечения и M соответствующих им отрезков [a^j0, a^j1] контрольного сечения математической модели рис. 7). Необходимо найти вектор P, на который нужно сдвинуть точки, и угол a, на который их нужно повернуть, таким образом, чтобы сумма расстояний от точек b^j до соответствующих им отрезков стала минимальной, т.е. необходимо минимизировать функцию

. (5)

Введем обозначения

Расстояние от точки b^j до отрезка [a^j0,a^j1]

.

При повороте и перемещении точек b^j расстояние до отрезка изменится на величину (рис. 7)

,

,

.

Подставив выражения для и в (5), получаем

.

Введем обозначения

С учетом введенных обозначений

.

Условиями минимума являются равенства нулю частных производных

Условия минимума определяют систему из трех линейных уравнений

,

где

Из решения системы, получаем значения a и P, определяющие поворот и сдвиг.

При выводе соотношений для совмещения физической и математической моделей, предполагалось что на моделях удалось выделить определенное количество контрольных точек (реперов) и установить их соответствие.

Технически нанесение меток в определенных контрольных точках на элементах модели (как и на любых изделиях сложной формы) является весьма трудоемким. При измерениях фиксация координат нанесенных на сложных поверхностях реперов также является сложной и трудоемкой операцией.

Увеличение числа реперов при повышении точности их нанесения и замера приведет к существенному возрастанию трудоемкости производства и контроля.

В этой связи принципиальное значение приобретает оценка рационального числа контрольных точек, используемых для совмещения физической и математической моделей поверхности, а также точности нанесения и замера соответствующих им реперов.

Для получения данных оценок была разработана имитационная модель, в качестве параметров которой использовались суммарная погрешность измеренных координат точек физической модели, включающая погрешности измерительной системы и производства, а также число измеряемых точек для определения параметров базирования. Обобщенные результаты имитационного эксперимента - зависимость относительной точности совмещения математической и физической модели после корректировки осей координат от числа замеряемых контрольных точек - построены на рис. 8.

Видно, что при корректировке осей по 10 контрольным точкам среднее отклонение замера от математической модели после ее выполнения приблизительно в 2 раза меньше точности КИМ. Увеличение числа контрольных точек в 10 раз (>100) приводит к существенному повышению точности совмещения моделей. Среднее отклонение при таком количестве контрольных точек становится в 10 раз меньше суммарной погрешности измерения и изготовления. Дальнейшее увеличение количества контрольных точек практически не изменяет точности совмещения.

Данные материалы позволяют получить оценку абсолютных величин погрешностей базирования.

В общем случае точность нанесения реперов для изготовленной поверхности приблизительно равна точности производства модели, т.е. отклонения их координат от теоретических значений ~ ± (0,05) мм. Точность замера координат реперов ограничивается физическими возможностями оператора КИМ, использующего для позиционирования мерительного щупа лупу или оптический насадок, и составляет также ~ 0,05 мм. Суммарная погрешность координат реперов для сложной поверхности таким образом может составлять Сå  _@ (0,1-0,15) мм. Использование для исключения ошибки базирования ограниченного числа реперов, приведет к соответствующему увеличению измеряемых отклонений точек изготовленной аэродинамической модели от теоретических значений.

Наличие режима программирования для КИМ позволяет провести совмещение моделей без использования специально изготавливаемых реперов. Для этого по математической модели готовится программа измерения ~ О (100) точек и выполняются измерения физической модели для данной ее установки.

Полученные в результате значения векторов и определяют преобразования поворота и надвижки систем координат.

Погрешность проведенного на этой основе совмещения моделей будет в ~  10 раз меньше Сå , т.е. (0.01-0,015) .

Повторное измерение на совмещение моделей фактически приводит к ошибкам базирования модели в осях КИМ пренебрежимо малым по сравнению с точностью производства.

Результаты предыдущих разделов позволяют определить методику проведения замеров составных изделий и их отдельных элементов со сложной формой поверхности.

Она состоит в последовательном выполнении следующих операций:

1. Начальная установка изделия по штатным базирующим элементам;
2. Проведение чернового замера ограниченного числа точек, допускающих одновременное указание на изделии и математической модели;
3. Предварительный расчет параметров пространственного совмещения (перенос-разворот) физической и математической моделей;
4. Измерение в автоматическом режиме значительного (100-500) числа точек поверхности изделия;
5. Расчет параметров пространственного совмещения (перенос-разворот) изделия и его математической моделей с автоматическим поиском соответствия измеренных точек, точкам математической модели;
6. Корректировка привязки изделия к осям контрольно-измерительной машины. Оценка точности базирования изделия относительно базирующих элементов;
7. Повторение п. 2-6 или 4-6 применительно к отдельным деталям и агрегатам, составляющим изделие, для определения ошибок сборки;
8. Проведение контрольных измерений отдельных деталей и агрегатов;
9. Обработка результатов измерения и документирование.

В качестве примера рассмотрим контроль точности изготовления лопатки компрессора газотурбинного двигателя (рис. 6). На рис. 9 показаны результаты измерений ряда опорных сечений и их непосредственное совмещение с математической моделью. В таблице приведены статистические характеристики отклонения замеренных точек от математической модели до устранения ошибки базирования, рассчитанные базирующие смещения, а также отклонения поверхности изготовленной лопатки от технологических баз после устранения ошибки базирования.

Базирование лопатки в осях КИМ.

На рис. 11 показано зарегистрированное отклонение точек сечения профиля от исходной математической модели.

Из рассмотрения методики оценки точности изготовления видно, что включение программируемой контрольно-измерительной техники в технологический процесс производства с одной стороны дает объективный контроль точности изготовления. С другой - обеспечивает изготовителей информацией о необходимых текущих доработках.

Последнее обстоятельство является чрезвычайно важным для совершенствования технологического процесса изготовления особо точных изделий инструментального производства, имеющих сложную форму поверхности.

[1] Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В.: Краткий курс математической статистики для технических приложений. Москва, 1959.

[2] В.А.Грановский, Т.Н.Сирая: Методы обработки экспериментальных данных при измерениях. Ленинград, Энергоатомиздат, 1990.

[3] А.Фокс, М.Пратт: Вычислительная геометрия, применение в проектировании и на производстве. Москва, Мир, 1982.

[4] В.Д.Вермель, В.К.Белкин, П.М.Николаев: Аппроксимция табличной функции на плоскости параметрическим кубическим сплайном с использованием метода наименьших квадратов. Труды ЦАГИ, Выпуск 2555, Москва, 1994.

Computer Graphics & Geometry